По определению средней линии треугольника ответ очевиден: MK=AD
2) Теперь рассмотрим общий случай (Рис. 3в). Задача будет легко решена, если его свести к уже решенному частному случаю. Пусть K – середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Из рассмотренного частного случая имеем: в треугольнике ABD MK=AD и МК|| AD, в треугольнике BCD KN=
BC и KN||BC.
Так как по условию AD не параллельно BC, то M, N, K не лежат на одной прямой. Тогда по правилу треугольника, в треугольнике MKN видно, что MN<MK+KN =
(AD+BC).
Следовательно, мы доказали, что полусумма сторон AD и BC четырехугольника ABCD больше чем отрезок (MN), соединяющий середины двух других сторон.
Каждый раз при решении общей задачи используется результат решения предыдущей частной задачи. Такой частный случай Д. Пойа называет ведущим.
Рассмотрим использование различных частных случаев при решении задач.
Пример 20. Дана окружность радиуса R. Из точки A, лежащей вне окружности и отстоящей от центра O на расстоянии а, проведена секущая. Точки B, C ее пересечения с окружностью соеденены с центром О. Пусть BOA и
COA обозначены соответственно через
и
. Найти tg
*tg
(рис. 4а).
|
| ||||||
| |||||||
Так как требуется найти величину tg* tg
в зависимости от данных, то есть а и R, то ответ должен быть одним и тем же при любом выборе секущей. Тогда верно, что этот же ответ должен получиться и при случае, когда секущая вырождается в касательную (рис. 4б). В данной задаче в качестве частного случая следует рассмотреть случай, когда проведена не секущая, а касательная.
Обобщение «по индукции» удачно подходит для вывода площадей поверхностей многогранников.
Пример 21. Вывести формулу боковой поверхности правильной n‑угольной призмы.
Вначале можно вывести формулу площади боковой поверхности прямой правильной треугольной призмы.
Далее обобщаем задачу до вывода формулы площади боковой поверхности прямой правильной n‑угольной призмы.
Иногда при решении задачи необходимо рассмотреть несколько вариантов, исчерпывающих все частные случаи, о чем прямо в задаче не сказано. Тогда метод будет иметь несколько другую схему рассуждений:
1) выделить все варианты частных случаев ситуации, описанной в задаче или создавшейся при ее решении;
2) решить задачу для каждого варианта;
3) объединить решения всех вариантов.
Часто этот метод называют методом исчерпывающих проб. Применение метода возможно при конечном числе вариантов.
Пример 22. Найти все четырехзначные числа, удовлетворяющие условиям: сумма цифр равна 11, само число делится на 11.
Это интересно
Методические рекомендации по формированию фонематического анализа и синтеза
в процессе преодоления дисграфии у младших школьников
Ученые, имеющие многолетнюю педагогическую практику в школе часто указывают на то, что педагоги, родители детей, страдающих дисграфией, обращаются за помощью логопеда тогда, когда с возникшими проблемами они сами уже не могут справиться. Логопеду приходится иметь дело с достаточно запущенной пробле ...
Принципы воспитания детей японского общества
Не надо быть сверхнаблюдательным, чтобы заметить: Япония - страна детей. Точнее, страна, где царит культ детей. Ребятня здесь, без всяких оговорок, - самый привилегированный класс. Симпатичных, словно с картинки, нарядно одетых детишек можно встретить везде - родители берут их с собой в храмы, таск ...
Метод проектов - перспективная образовательная
технология в сельской школе
Процесс образования в сельской школе отличается рядом особенностей. Первой особенностью является то, что в сельских школах - низкая наполняемость классов, количество учеников может составлять в среднем от двух до двенадцати человек. Другой особенностью, кроме малой наполняемости классов, стала рабо ...