Обобщение как источник новых математических задач

Обобщения при обучении решению математических задач могут способствовать возникновению новых задач. Новые задачи могут появиться как при исследовании конкретной задачи и ее решения, так и при исследовании обобщенной задачи и ее решения.

К возникновению новой обобщенной задачи могут привести индуктивные обобщения. Обратная операция – специализация, позволяет от обобщенной задачи перейти к конкретным задачам.

Так же с помощью обобщений по аналогии из одной конкретной задачи получают новые конкретные задачи, из обобщенной задачи – новые обобщенные задачи.

Получение новых задач важно тем, что при составлении задач учащиеся усваивают структуру задачи, взаимосвязь данных, данных и искомых, обнаруживают внутреннюю связь между задачами.

Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют следующие приемы:

1) обобщение данных при сохранении искомых;

2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных;

3) обобщение данных и искомых.

Рассмотрим подробнее эти приемы.

Обобщение данных при сохранении искомых

Замена одних данных (или части данных) другими при сохранении искомых приводит к применению разнообразных приемов и методов решения, казалось бы, близких по содержанию задач. При этом может применяться не один прием, а широкий спектр методов.

Изменением условия задачи при сохранении требования может являться: замена данных более общими; замена одних отношений между объектами задачи другими.

Замена числовых данных задачи параметром часто приводит к обобщенной задаче. Специализация обобщенной задачи помогает получить целый класс аналогичных задач. Конкретные числовые данные можно заменять буквами не все сразу, а последовательно.

Пример 25. «Найти, если сторона нижнего основания равна 10 м, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м».

Если числа 10, 5, 6 заменить буквами, например а, b, h, получим обобщенную задач: «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна a, сторона верхнего b и высота пирамиды h». Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы воспринимаем данные величины как переменные.

Обобщенная задача дает возможность составить и решить еще несколько типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные – данными.

К появлению новых задач так же приводит обобщение понятий, данных в задаче.

Пример 26. Найти диагональ куба, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Обобщив понятие куба до понятия прямоугольного параллелепипеда, получим новую задачу:

Пример 27. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).

Замена одних отношений между объектами задачи другими тоже может привести к появлению новых задач.

Пример 28. Как изменится частное двух чисел если делимое увеличить в три раза?

Можно исследовать эту задачу и получить новые, размышляя, что произойдет с частным, если делимое увеличить в 3 раза, уменьшить в 3 раза, если изменить делитель, если изменить одновременно делимое и делитель? Возникает целая серия задач, порожденных данной задачей, которые можно записать в таблицу 3.

Табл. 3

После решения конкретных задач полезно сделать обобщения: если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же положительное число раз, то не изменится; если делимое увеличить, а делитель уменьшить в одно и то же положительное число раз, то частное увеличиться в квадрат этого числа; если делимое уменьшить, а делитель увеличить в одно и то же положительное число раз, то частное уменьшится в квадрат этого числа.

Это интересно

Основные цели и задачи информатизации ДОУ
Если описывать процесс информатизации ДОУ формально, то его можно представить как последовательность переходов образовательного учреждения из одного состояния в другое. Этот переход, как правило, требует от педагогов специальных усилий, которые должны, так или иначе организованы: это могут быть раз ...

Слух
Роль слуха в музыкально-творческом процессе, в развитии музыкальных способностей, в воспитании любви к музыкальному искусству чрезвычайно велика. Понятия «музыкальный слух» и «музыкальная одаренность» - различны; музыкальная одаренность предполагает особый комплекс, сочетание способностей, куда вхо ...

Урок и его организация
В наших условиях, когда занятия по сольфеджио происходят всего один или два раза в неделю, каждый проведенный урок имеет громадное значение. Некоторые формы работы, например: анализ на слух - вообще не могут быть проведены без педагога. Да и пение, в записи диктанта, в чтении с листа основное напра ...

Навигация по сайту

• Главная
• Инновационные педагогические технологии
• Сущность воспитания творческой личности
• Формы и средства обучения
• Одаренность как отклонение от нормы
• Современные проблемы семейного воспитания
• Особенности воспитания детей
• Разное по педагогике
• Карта сайта
• Контакты