Разное по педагогике » Обобщения при обучении решению математических задач » Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Страница 1

Индукция представляет собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Индуктивные обобщения играют большую роль в получении обобщенного знания и являются одним из важных эвристических приемов.

При отыскании математических закономерностей, при нахождении способа решения разнообразных математических задач индуктивное обобщение проявляется в умении наблюдать и выявлять общее. Метод рассуждений, где после наблюдения за серией частных случаев формулируется общее предложение, называется неполной индукцией.

Пример 4. «Доказать, что произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6» .

1) Рассмотрим серию частных случаев:

1*2*3=6 (делится на 6)

2*3*4=24 (делится на 6)

3*4*5=60 (делится на 6)

2) Сформулируем предположение: числа 6, 24, 60 делятся на 6, значит произведение трех любых последовательных натуральных чисел может делиться на 6.

3) Испытаем предположение для другого частного случая: 13*14*15=2730 (=455*6 т.е. делится на 6).

Так как предположение подтвердилось, то можно сформулировать индуктивный вывод: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

4) Проведем доказательство предположения: пусть k – произвольное натуральное число.

Возможны три случая:

1. Первое число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух последующих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

2. Последнее число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух предыдущих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

3. Среднее число равно 3*k.

Тогда: (3*k – 1)* 3*k *(3*k + 1) = 3*k *(9*k2 – 1)

Далее возможны два случая:

k = 2*p. Предложение доказано.

k=2*p + 1.

Имеем: 3*k *(9*k2 – 1) = 3*[9*(2*p +1)2 – 1]*(2*p + 1)

Так как множитель в квадратных скобках – четное число, то все произведение делится на 6.

Таким образом, предложение доказано полностью: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

Д. Пойа утверждает, что индуктивное обобщение может являться также методом решения математических задач. Рассматривается самый простой частный случай, когда задача решается легко. Решив эту задачу, обобщают ее на другой более общий, но все же частный случай, используя в решении результат предыдущей задачи. Так доходят до общей данной задачи.

В процессе обучения математике индукция очень тесно связана с дедукцией. Особенно ярко взаимосвязь индукции и дедукции просматривается при решении задач методами полной и математической индукции.

Иногда при полной индукции результат достигается в два этапа.

1. Выделение благоприятного частного случая – особого случая, более простого, чем общий. Решение этого частного случая;

2. Объединение частных случаев, к которым применимо ограниченное решение. Получение полного решения для общего случая.

Математическая индукция применяется с целью установления истинности математической теоремы в бесконечной последовательности случаев.

Пример 5. Докажем, что для всех натуральных n истинна формула

1) При n=1 формула верна:

2) Предположим, что формула верна для n=k.

3) Докажем, что формула верна для n=k+1, то есть

Это верно, так как

4) На основании принципа математической индукции сделаем вывод: формула верна для всех натуральных п.

Таким образом, индуктивные обобщения являются эвристическим приемом в обучении решению задач. Индуктивные обобщения используются в открытии математических закономерностей, при выводе метода решения задач. При решении задач индукция связана с дедукцией. Особенно это проявляется при решении задач методом полной индукции и методом математической индукции.

Страницы: 1 2

Это интересно

Особенность метода проблемного обучения в условиях внеклассной работы
В теории и практике педагогики в настоящее время существует большое количество разнообразных концепций, теорий, подходов к обучению, основанных на тех или иных образовательных целях, на тех или иных особенностях передачи или усвоения знаний, развития личности учащихся и т.д. Наиболее теоретически о ...

Методы разрешения конфликтной ситуации
На первом этапе, приняв единоличное решение, директор техникума допустила ошибку, не составив разговора с непосредственными участниками конфликта, не выяснив все их потребности и опасения. Поэтому началась эскалация конфликта, участники стали набирать себе сторонников. На втором этапе были выделены ...

Формирование личностной готовности студентов-психологов к профессиональной деятельности
Профессия «психолог» относится к так называемой «социономической» группе профессий (ориентированной на общественные проблемы, проблемы социализации личности) и предполагает общение с самыми разными людьми. Следовательно, психологу требуется формировать в себе готовность «понимать» самых разных люде ...

Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Навигация по сайту