Разное по педагогике » Обобщения при обучении решению математических задач » Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Страница 1

Индукция представляет собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Индуктивные обобщения играют большую роль в получении обобщенного знания и являются одним из важных эвристических приемов.

При отыскании математических закономерностей, при нахождении способа решения разнообразных математических задач индуктивное обобщение проявляется в умении наблюдать и выявлять общее. Метод рассуждений, где после наблюдения за серией частных случаев формулируется общее предложение, называется неполной индукцией.

Пример 4. «Доказать, что произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6» .

1) Рассмотрим серию частных случаев:

1*2*3=6 (делится на 6)

2*3*4=24 (делится на 6)

3*4*5=60 (делится на 6)

2) Сформулируем предположение: числа 6, 24, 60 делятся на 6, значит произведение трех любых последовательных натуральных чисел может делиться на 6.

3) Испытаем предположение для другого частного случая: 13*14*15=2730 (=455*6 т.е. делится на 6).

Так как предположение подтвердилось, то можно сформулировать индуктивный вывод: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

4) Проведем доказательство предположения: пусть k – произвольное натуральное число.

Возможны три случая:

1. Первое число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух последующих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

2. Последнее число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух предыдущих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

3. Среднее число равно 3*k.

Тогда: (3*k – 1)* 3*k *(3*k + 1) = 3*k *(9*k2 – 1)

Далее возможны два случая:

k = 2*p. Предложение доказано.

k=2*p + 1.

Имеем: 3*k *(9*k2 – 1) = 3*[9*(2*p +1)2 – 1]*(2*p + 1)

Так как множитель в квадратных скобках – четное число, то все произведение делится на 6.

Таким образом, предложение доказано полностью: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

Д. Пойа утверждает, что индуктивное обобщение может являться также методом решения математических задач. Рассматривается самый простой частный случай, когда задача решается легко. Решив эту задачу, обобщают ее на другой более общий, но все же частный случай, используя в решении результат предыдущей задачи. Так доходят до общей данной задачи.

В процессе обучения математике индукция очень тесно связана с дедукцией. Особенно ярко взаимосвязь индукции и дедукции просматривается при решении задач методами полной и математической индукции.

Иногда при полной индукции результат достигается в два этапа.

1. Выделение благоприятного частного случая – особого случая, более простого, чем общий. Решение этого частного случая;

2. Объединение частных случаев, к которым применимо ограниченное решение. Получение полного решения для общего случая.

Математическая индукция применяется с целью установления истинности математической теоремы в бесконечной последовательности случаев.

Пример 5. Докажем, что для всех натуральных n истинна формула

1) При n=1 формула верна:

2) Предположим, что формула верна для n=k.

3) Докажем, что формула верна для n=k+1, то есть

Это верно, так как

4) На основании принципа математической индукции сделаем вывод: формула верна для всех натуральных п.

Таким образом, индуктивные обобщения являются эвристическим приемом в обучении решению задач. Индуктивные обобщения используются в открытии математических закономерностей, при выводе метода решения задач. При решении задач индукция связана с дедукцией. Особенно это проявляется при решении задач методом полной индукции и методом математической индукции.

Страницы: 1 2

Это интересно

Формирования познавательных процессов в различных видах деятельности
В основу обучения положена идея самостоятельного формирования необходимых знаний, навыков и умений в процессе решения учебно-познавательных задач (проблем), что формирует и развивает творческое мышление и познавательную активность обучаемых. В основе организации обучения лежит личностно-деятельност ...

Характеристика проблемы речевого развития слабослышащих дошкольников
Речевое развитие детей с нарушениями слуха основывается на физиологической закономерности «формируемых у человека языковых процессов и взаимодействия между мозгом и языком». В специальной педагогике проблема развития ребенка с нарушениями в развитии как социальная осмыслена Л.С. Выготским, С.А. Зык ...

Управление и его функции
Если обратиться к словарю В.И. Даля, то можно выяснить, что слово «управление» произошло от глаголов «править», «справляться» и означает «давать ход, направление, заставлять идти правильным, нужным путем, распоряжаться, заведовать, делать что-то хорошее, исправно, ладно». Изучая современную литерат ...

Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Навигация по сайту